Clase #2

Propiedades de  reflexión de la parábola y la elipse.


Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo  que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie reflectante o reflejante.



Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permite dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Este es el principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de la luz que emanan del foco de una linterna con reflexión parabólica son paralelos.

Propiedad de reflexión de una parábola

Sea P un punto de una de la parábola. La tangente a la parábola en el punto  P produce ángulos iguales con las dos rectas siguientes.

1.   La recta que pasa por P y por el foco
2.   La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P


Al igual que la parábola la elipse tiene una propiedad semejante de reflexión.

Propiedad de reflexión de la elipse

Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma ángulos iguales por las rectas que pasan por P  y por los focos.

Excentricidad de una elipse y una hipérbola


Una de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultades para descubrir que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas planetarias están relativamente relacionados cerca del centro del sol, lo que hace a las órbitas ser casi circulares. Para medir el aplastamiento de una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad.

Definición de excentricidad de una elipse



La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente



e =  a / b

Definición de excentricidad de una hipérbola

La excentricidad  de una hipérbola está dada por el cociente

e =  a / b


Ejemplos.



1.Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de la siguiente parábola, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco y la ecuación de la directriz.
















2. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente elipse.
















3.Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente a la recta 3x -4y + 5 = 0.
















4. Determinar la posición relativa de la recta x + y – 1 = 0 con respecto a la hipérbola x2 - 2y2 = 1.


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