Propiedades de reflexión
de la parábola y la elipse.
Una propiedad muy
utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se dice que
una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de
la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo
reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo
plano es un ejemplo de una superficie reflectante o reflejante.
Otro tipo de
superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola alrededor
de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permite
dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al
eje. Este es el principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que
se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de
la luz que emanan del foco de una linterna con reflexión parabólica son
paralelos.
Propiedad de reflexión de una parábola
Sea P un punto de una de la parábola. La
tangente a la parábola en el punto P produce ángulos iguales con las dos
rectas siguientes.
1.
La recta que pasa por P y por el foco
2.
La recta paralela al eje de la
parábola que pasa por P
Al igual que la parábola
la elipse tiene una propiedad semejante de reflexión.
Propiedad de reflexión de la elipse
Sea P un punto de una elipse. La recta
tangente a la elipse en el punto P
forma ángulos iguales por las rectas que pasan por P y por los focos.
Excentricidad de una elipse y una hipérbola
Una de los
motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultades para descubrir que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas planetarias están relativamente relacionados cerca del centro del sol,
lo que hace a las órbitas ser casi circulares. Para medir el aplastamiento de
una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad.
Definición de excentricidad de una elipse
La excentricidad e de una elipse está dada por el
cociente
e = a / b
Definición de excentricidad de una hipérbola
La excentricidad e de una hipérbola está dada por el cociente
e = a / b
Ejemplos.
1.Determinar, en forma reducida, las ecuaciones de la siguiente parábola, indicando el valor del parámetro, las coordenadas del foco
y la ecuación de la directriz.
2. Representa gráficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vértices y la excentricidad de la siguiente elipse.
3.Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que tiene el centro en el punto C(3,1) y es tangente a la recta 3x -4y + 5 = 0.
4. Determinar
la posición relativa de la recta x + y – 1 = 0 con respecto a la hipérbola x2
- 2y2 = 1.
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